Tor 函子

與一個模做張量積是一種友好的運算，但它仍可能破壞單射性：把一個單射張量化未必仍是單射。Tor 正是對單射性究竟損失多少的精確記錄。其名源自撓（torsion），因為這種損失最初顯現之處——把 Z/nZ 與另一個群做張量積——恰好產生撓現象，而 Tor 在每個次數上都將其乾淨地刻畫出來。

形式地說，對右 R 模 A 與左 R 模 B，Tor_n^R(A, B) 是張量積 A ⊗_R - 的第 n 個左導出函子：取 B 的投射分解 P_* -> B，構成複形 A ⊗ P_*，再取同調。（也可改為分解 A；答案相同。）則 Tor_0(A, B) = A ⊗_R B，且任一變元上的短正合序列都誘導 Tor 群的長正合序列，修復張量化所失的左正合性。

Tor 在所有正次數處消失，當且僅當被分解的模是平坦的——這是平坦性最乾淨的刻畫。故 Tor 度量非平坦性，正如 Ext 度量非投射性。在主理想整環上 Tor 集中於次數 0 與 1，而 Tor_1 探測撓子模，這正是其名的最初由來。Tor 還出現在 Künneth 公式中，將乘積的同調與各因子的同調聯繫起來。