導出函子

許多自然函子只正合一半：它們保持短正合序列的一端，卻破壞另一端。導出函子正是對這種失敗的精確而系統的度量。與其哀嘆某個函子無法保持正合，不如把它產生的全部誤差項記錄下來，組織成一座新函子之塔，使它們合在一起重新恢復一條正合序列——即長正合序列——並編碼深刻的結構資訊。

具體地說，設 F 是模範疇（或有足夠多內射對象的阿貝爾範疇）之間的左正合加性函子。要計算它在模 M 處的右導出函子 R^n F，取內射分解 0 -> M -> I^0 -> I^1 -> ...，刪去 M，施加 F 得到上鏈複形 F(I^0) -> F(I^1) -> ...，並令 R^n F(M) 為該複形的 H^n。則 R^0 F = F，且模的短正合序列誘導導出函子的長正合序列。對偶地，右正合函子 G 有左導出函子 L_n G，由投射分解計算，L_0 G = G。

關鍵在於：導出函子不依賴分解的選取（任意兩個都同倫等價），且當函子本已正合時它們在正次數處恰好消失。經典例子是 Ext（導出 Hom）與 Tor（導出張量積）。層上同調、群上同調與伽羅瓦上同調全都是合適左正合函子的導出函子，這正是它們共享同一套長正合序列與連接映射的形式機器的原因。