內射分解

內射分解是投射分解的鏡像：它不再用投射模從下方逼近一個模，而是用內射模從上方逼近它。內射模是這樣一類模：映射可以延拓進入它們——它們足夠寬敞，任何映入其中的部分映射總能被補全。把一個模嵌入由這類模構成的長正合鏈，便得到一件極適合那些（與 Hom-入相反）在右側表現良好的函子的工具。

形式地說，R 模 M 的內射分解是一條正合序列 0 -> M -> I^0 -> I^1 -> I^2 -> ...，其中每個 I^j 都是內射模。它們總是存在，因為每個模都嵌入某個內射模（模範疇有足夠多的內射對象）。捨去 M，上鏈複形 0 -> I^0 -> I^1 -> ... 在次數 0 處上同調為 M，別處為零，充當 M 的對偶替身。

與投射分解相同，M 的任意兩個內射分解都是鏈同倫等價的，故施加函子再取上同調給出良定的結果。這正是計算右導出函子的方式：第二變元上的 Ext、層上同調與群上同調，都來自對內射分解施加左正合函子後所取的上同調。M 的內射維數是這種分解的最小長度。