上同調

上同調就是把同調反著讀。同調透過追問鏈複形中哪些閉鏈不是邊緣來度量洞，上同調則對上鏈複形提出同樣的問題，而其映射是提升次數而非降低次數。方向的改變並非表面文章：上同調類常常是空間上的函數或度量，它們彼此相乘，賦予上同調一個同調所沒有的環結構。

對於上鏈複形 (C, d)，其中 d^n : C^n -> C^{n+1}，第 n 個上同調為 H^n(C) = ker(d^n) / im(d^{n-1})。ker(d^n) 中的元素是上閉鏈，im(d^{n-1}) 中的元素是上邊緣，上同調類即模去上邊緣的上閉鏈。與同調相同，H^n(C) = 0 當且僅當複形在 C^n 處正合。

由於 Hom(-, M) 是反變的，對自由模或投射模的鏈複形施加它會產生一個上鏈複形，其上同調按定義即帶係數 M 的上同調。H_n 與 H^n 之間的關係由萬有係數定理刻畫，在域上給出 H^n ≅ Hom(H_n, M)，但在 Z 上會引入一個涉及 Ext 的修正項。群、伽羅瓦、德拉姆、層等各種上同調理論，都是這一單一構造施加於合適上鏈複形上的實例。