群與伽羅瓦上同調
伽羅瓦上同調
伽羅瓦上同調是把群上同調專門化到算術中最重要的群——伽羅瓦群上。當你通過過渡到一個更大的、使問題變簡單的域來研究某個域時，伽羅瓦群度量二者之差，並作用在住在上層的每個算術對象上——單位、根、簇的點。伽羅瓦上同調記錄降回下層時丟失了什麼，把在基域上解方程的問題打包成上同調類。
具體地，若 L/K 是伽羅瓦擴張、其群 G = Gal(L/K)，而 A 是一個 G 模（G 在其上連續作用的離散模，如 L^* 或 L 上某代數群的點），則伽羅瓦上同調群是連續群上同調 H^n(G, A)。對無限擴張，G 是有限射影群，需用連續上鏈，等價地取有限子擴張上同調的濾過餘極限。絕對伽羅瓦群 Gal(K-sep / K) 及其上同調編碼 K 的深刻算術。
兩個基石性結果在低次組織起本學科。希爾伯特定理 90 給出 H^1(G, L^*) = 0，它支撐庫默爾理論與循環擴張的刻畫。布饒爾群 Br(K) 被等同於 H^2(Gal(K-sep/K), (K-sep)^*)，分類 K 上的中心單代數。更高的伽羅瓦上同調匯入類域論、對偶的上同調表述（泰特–普瓦圖），以及貫穿現代數論與算術幾何的平展上同調。
對 K = R，絕對伽羅瓦群是 Gal(C/R) = Z/2Z。則 H^2(Z/2Z, C^*) = Z/2Z = Br(R)，其非零類是哈密頓四元數 H——實數上唯一非平凡的中心除代數。
R 的布饒爾群為 Z/2Z，由四元數實現。
連續性要求是本質的：對無限伽羅瓦群，必須使用以連續上鏈計算的上同調，其中模賦以離散拓撲而穩定子是開的。否則答案會出錯，函子性也會失效。
另見