希爾伯特定理 90
希爾伯特定理 90 是這樣一個令人驚訝的事實：對一個良好的域擴張，每個範數為一的元素暗地裡都是某元素與其共軛之比。其最初形式針對帶生成元 σ 的循環擴張：若元素 a 範數為 1（其所有共軛之積等於 1），則 a 必等於某 b 的 b/σ(b)。它看似一個特殊的解方程技巧，實則是某上同調群消沒的可見外貌。
上同調形式的陳述是：對任意有限伽羅瓦擴張 L/K、群為 G，乘法群的第一上同調消沒，即 H^1(G, L^*) = 0。展開定義，一個 1 階上閉鏈是映射 g |-> a_g 屬於 L^*、滿足 a_{gh} = a_g · g(a_h)，消沒意味著每個此類上閉鏈都是主的：a_g = g(b)/b，其中 b 屬於 L^*。經典的範數為一陳述是 G 由 σ 生成的循環情形、且上閉鏈由 a_σ = a 決定的特例。
該定理是庫默爾理論與循環擴張刻畫的承重牆：與來自 1 -> μ_n -> L^* -> L^* -> 1（n 次冪映射）的長正合序列結合，它給出 K^*/(K^*)^n ≅ H^1(G, μ_n)，當 K 含 n 次單位根時分類 n 次循環擴張。一個加法版本，即加法希爾伯特 90，斷言 H^1(G, L) = 0，它更簡單，由正規基定理推出。
取 L = Q(i)，K = Q，G = {1, σ}，σ 為複共軛。元素 a + bi 的範數為 a^2 + b^2；若它等於 1，則 a + bi = b'/σ(b')，其中 b' 屬於 L^*。例如 3/5 + 4i/5（範數為 1）等於 (2 + i)/σ(2 + i) = (2 + i)/(2 - i)。
一個範數為一的高斯有理數寫成 b/σ(b)。
此名源於它是希爾伯特 1897 年《數論報告》中的第 90 個定理；上同調推廣歸功於埃米·諾特。乘法情形的消沒是特殊的——H^2(G, L^*) 一般非零，給出布饒爾群。