正規基定理

通常我們多少是任意地選取擴張的一組基——比如為 Q(sqrt(2)) 選 1、sqrt(2)。正規基定理說，你可以做一件遠為優雅的事：選取單個巧妙的元素，使它連同它在伽羅瓦群下的全部像一起構成一組基。於是整組基就是一條軌道，被群攪來攪去。

精確地說，若 L/K 是有限伽羅瓦擴張，伽羅瓦群為 G = {sigma_1, ..., sigma_n}，則存在元素 alpha 屬於 L，其共軛 sigma_1(alpha)、...、sigma_n(alpha) 構成 L 的一組 K-基。這樣的 alpha 稱為正規基生成元，它所產生的基稱為正規基。等價地，L 是群代數 K[G] 上秩為 1 的自由模；G 的正則表示在 L 內被具體地實現。

這不僅是審美上的。因為 G 置換正規基的方式恰好與它通過左乘置換自身的方式相同，伽羅瓦群在 L 上的作用就變成了正則表示，這在計算上和理論上都很方便——正規基用於有限域上的快速算術，以及把 L 描述為伽羅瓦模的結構。無限域情形的證明用范德蒙德/特徵標無關性論證；有限域情形需要單獨的、更細緻的處理。