伽羅瓦擴張

可以把伽羅瓦擴張想成一種對稱性達到極致的域擴張：它恰好為其多項式所要求的每一個根都留出了空間，又不存在那種暗中重合的彆扭根。當這兩種良好性質同時成立時，擴張的對稱群就達到了它可能的最大規模，而這種對稱性正是理解該域的有力工具。

精確地說，代數擴張 L/K 是伽羅瓦擴張，如果它在 K 上既是正規的又是可分的。正規是指：K[x] 中任一不可約多項式只要在 L 中有一個根，就在 L 中完全分裂；可分是指：K 上任一不可約多項式在 L 中沒有重根。等價地，L/K 是伽羅瓦擴張當且僅當自同構群 Aut(L/K) 的不動域恰好是 K；對有限擴張而言，當且僅當 L 的 K-自同構個數等於次數 [L : K]。此時群 Aut(L/K) 稱為伽羅瓦群，記作 Gal(L/K)。

一個值得牢記的注意點：在特徵 0 時，以及在任何有限域上，可分性是自動成立的，所以那裡伽羅瓦就等於正規。微妙之處出現在正特徵且基域不完美的情形，此時不可分性會破壞等式 [L:K] = |Gal(L/K)|。此外，「伽羅瓦」是對 L/K 這一對而言的性質，而非單獨對 L 而言：一個域在某個基域上可能是伽羅瓦的，在另一個介於其間的基域上卻不是。