不動域

設想一群對稱變換在攪動一個域中的元素。有些元素被挪來挪去；另一些則無論你施加哪個對稱變換都紋絲不動。那些永不移動的元素構成了不動域——所有對稱變換都一致同意不去觸碰的「不變核心」。

形式地說，設 L 是一個域，H 是 L 的一個自同構群。H 的不動域常記作 L^H，是所有滿足 sigma(x) = x（對每個 sigma 屬於 H）的 x 屬於 L 的集合。由於自同構保持加法、乘法和求逆，這個集合對這些運算封閉，故 L^H 是 L 的一個子域，且包含素域。整套伽羅瓦理論的機制正是建立在子群 H 與其不動域 L^H 之間的來回穿梭之上。

不動域會反轉包含關係：更大的對稱群施加更多約束，因而固定的元素更少，給出更小的不動域。在最乾淨的情形下（阿廷定理），若 H 有限，則 L 在 L^H 上是伽羅瓦的，伽羅瓦群恰為 H，且 [L : L^H] = |H|。正是這一點使伽羅瓦對應成為真正的雙射，而非鬆散的配對。