伽羅瓦對應

伽羅瓦對應是一部字典，把關於域的問題翻譯成關於群的問題。夾在 K 與伽羅瓦擴張 L 之間的域構成一個格；伽羅瓦群的子群構成另一個格；這一對應把它們完美地匹配起來，但是上下顛倒的——最大的域對應最小的群，反之亦然。

具體地說，對有限伽羅瓦擴張 L/K，設 G = Gal(L/K)，則在中間域 F（滿足 K 包含於 F 包含於 L）與 G 的子群 H 之間存在一個反轉包含的雙射。它把 F 送到固定 F 的自同構子群 Gal(L/F)，把 H 送到其不動域 L^H。這兩個映射互逆：Gal(L/L^H) = H 且 L^{Gal(L/F)} = F。此外次數與指數相匹配：[L : F] = |Gal(L/F)| 且 [F : K] = [G : Gal(L/F)]。

該對應還追蹤正規性：中間域 F 自身是 K 的伽羅瓦（等價地正規）擴張，當且僅當 Gal(L/F) 是 G 的正規子群；此時 Gal(F/K) 同構於商群 G / Gal(L/F)。這正是「求解域的塔」變成「關於群的次正規列的問題」的確切含義——也是把多項式的根式可解性與群的可解性聯繫起來的橋樑。