高等群論
可解群
可解群是只用交換塊就能逐層搭建起來的群——從不需要任何真正非交換的單成分。這個名字來自伽羅瓦：一個多項式方程可用根式求解當且僅當它的伽羅瓦群可解，故群的可解性恰好告訴你能否只用域運算與 n 次根寫出方程的根。
形式地，群 G 可解，若它有次正規列 1 = G_0 ⊴ G_1 ⊴ ... ⊴ G_n = G，其中每個商 G_{i+1}/G_i 都交換。等價地，導出列——G，然後 G' = [G, G]，再 G'' = [G', G']，依此類推——在有限步內到達平凡子群。對有限群，還有一個等價條件：所有合成因子都是素數階的循環群。
可解群在取子群、取商與擴張下封閉，這使其成為一個穩健的類。分水嶺例子是對稱群：S_n 在 n ≤ 4 時可解，而 n ≥ 5 時不可解，因為 A_5 是非交換單群。這一事實經由伽羅瓦理論，恰恰說明了為何一般五次方程不能用根式求解，而四次以下可以。
每個有限 p-群都可解，因為它的中心非平凡，而對中心取商得到更小的 p-群，由歸納給出交換商鏈。對稱群 S_4 經由 1 ⊴ V_4 ⊴ A_4 ⊴ S_4 可解，其交換商的階為 4、3、2。
p-群與 S_4 的可解性。
兩個著名里程碑框定了有限理論：費特-湯普森定理（每個奇數階有限群都可解）與伯恩賽德 p^a q^b 定理（階只有兩個素因子的有限群都可解）。兩者都遠比初等定義所暗示的更深刻。
又稱
另見