換位子群

每個群都有一個對「有多不交換」的精確度量，被打包進單個子群。換位子群收集所有交換性的失敗——形如 ghg^{-1}h^{-1} 的元素，它們若一切可交換便會是單位元。恰好用這個子群把群壓碎，便產生該群最佳的阿貝爾近似。

形式地，g 與 h 的換位子是 [g, h] = g h g^{-1} h^{-1}，而換位子群（或導群）G' = [G, G] 是由所有這種換位子生成的子群。它是正規——實則特徵——子群，且商 G/G' 交換。關鍵在於 G' 是具有交換商的最小正規子群：G/N 交換當且僅當 N 包含 G'。因此 G/G' 稱為 G 的阿貝爾化，記作 G^{ab}。

阿貝爾化是泛的交換商：從 G 到任一交換群的每個同態都唯一地經過 G^{ab} 分解。迭代這一構造——G，然後 G'，再 G'' = (G')'，依此類推——給出導出列，其終於平凡群正是可解性的定義。一個小提醒：換位子群由換位子生成，但未必只由換位子組成；在某些群裡，換位子之積本身未必是單個換位子。