單群

單群是群論中不可分割的原子。一個群是單的，若你無法用任何商把它拆開：除了兩個平凡正規子群外，它沒有可供坍縮的正規子群。正如每個整數都分解為素數，每個有限群都經由合成列由單群組裝而成，故單群是整個有限理論不可約的構件。

形式地，群 G 是單的，若它非平凡且其唯一的正規子群是 {1} 與 G 本身。交換單群恰是素數階的循環群 Z/pZ——容易列舉。非交換單群則豐富得多：最小的是階為 60 的交錯群 A_5，且交錯群 A_n 對所有 n ≥ 5 都單。

有限單群分類定理，歷經數千頁期刊論文完成，斷言每個有限單群要麼是素數階循環群、交錯群 A_n（n ≥ 5）、李型群，要麼是 26 個散在群之一（最大者為魔群，階約 8 x 10^53）。它是二十世紀數學的豐碑成就之一。一個警示：單性是說群沒有真商，而非說它小或結構平凡——單群可以極其龐大而精緻。