p-群

p-群是完全由單個素數構建的群：每個元素的階都是 p 的某個冪。對有限群而言，這等同於說群的階是 p 的冪。它們是「素數冪階的原子」，而西羅定理使其成為按素數逐一組裝任何有限群結構的基本構件。

形式地，對固定素數 p，若群中每個元素的階都為某個 p^n（n ≥ 0，依元素而定），則稱其為 p-群。由柯西定理與拉格朗日定理，有限群是 p-群當且僅當 |G| = p^k（某個 k）。它們決定性的結構特徵——由類方程證得——是非平凡有限 p-群總有非平凡中心。

由非平凡中心這一事實可推出許多結論：有限 p-群是冪零的，它們對整除 |G| 的每個階都有一個正規子群（即一條完整的正規子群鏈，相鄰商的階均為 p），且除非階為 p 否則絕非單群。無限情形更豐富也更奇異——普呂弗 p-群 Z(p^∞) 是一個無限 p-群，其每個真子群都有限——故不應把乾淨的有限圖景過度外推。