西羅定理

拉格朗日定理說子群的階整除群的階，但並不保證每個因數都有對應的子群。西羅定理給出了已知最強的部分逆命題：對整除 |G| 的每個素數的最高冪，恰好那麼大的子群總存在，且這類子群表現極佳。它們是僅憑群的階分析有限群最強有力的初等工具。

設 |G| = p^k · m，其中 p 為素數且 p 不整除 m。一個西羅 p-子群是階為 p^k 的子群。三條定理是：(1) 存在性——西羅 p-子群存在，事實上每個 p-子群都包含於某個西羅 p-子群中。(2) 共軛性——任意兩個西羅 p-子群在 G 中共軛，故尤其全部同構。(3) 計數——西羅 p-子群的個數 n_p 滿足 n_p ≡ 1 (mod p) 且 n_p 整除 m；等價地對任一西羅 p-子群 P 有 n_p = [G : N_G(P)]。

計數約束在小情形足夠銳利，能完全確定群：若 n_p = 1 則該西羅 p-子群正規，許多階恰好迫使如此。這是證明給定階的群不可能為單群、從而分類小群的標準途徑。這些定理的證明本身是群作用、類方程與軌道-穩定子定理的優雅應用。