正規化子

給定坐落在更大群裡的一個子群，你可能想把周圍擴大，直到該子群變成正規的——即在周圍一切元素的共軛下不變。正規化子就是這種最大的周圍：使所選子群正規的最大子群。

形式地，對 G 的子群 H，正規化子為 N_G(H) = { g 屬於 G : g H g^{-1} = H }。它是 G 中包含 H 的子群，且按構造 H 在 N_G(H) 中正規；而且 N_G(H) 是 G 中具此性質的最大子群。注意它與中心化子的區別：正規化子只要求共軛把集合 H 整體送回自身，並不要求逐個固定每個元素，故 C_G(H) 始終包含於 N_G(H)。

正規化子組織起一個子群與群其餘部分的相互作用。由作用在子群上的共軛作用應用軌道-穩定子定理，H 的共軛子群個數等於 [G : N_G(H)]，故自正規子群（N_G(H) = H）擁有可能最多的共軛子群個數。尤其是 Sylow 子群的正規化子，對 Sylow 理論及整個有限群論中的計數論證至關重要。