中心化子

固定群中一個元素，問：哪些其他元素與它交換——即不在乎相乘的次序？所有這種「合作」元素構成它的中心化子。它衡量所選元素有多「中心」：中心化子越大，群中越多元素在乘積裡把這個元素視為可交換的。

形式地，元素 a 在 G 中的中心化子為 C_G(a) = { g 屬於 G : ga = ag }；更一般地，子集 S 的中心化子為 C_G(S) = { g 屬於 G : 對所有 s 屬於 S 有 gs = sg }。每個中心化子都是 G 的子群。整個群的中心化子即中心 Z(G)，由與所有元素交換的元素組成。

中心化子支配共軛：C_G(a) 恰是 a 在共軛作用下的穩定子，故由軌道-穩定子定理 a 的共軛類大小為 [G : C_G(a)]。於是中心化子大意味著類小，反之亦然。中心化子在有限群結構理論中也無處不在——例如在有限單群中，一個對合的中心化子攜帶巨量結構信息，這正是分類定理的核心事實之一。