半直積

直積把兩個群黏在一起，使它們完全互不理睬。半直積則是更進一層的親密：一個因子仍然正規，但另一個因子被允許作用其上，用自同構對它進行扭轉。正是這一次扭轉，從兩類交換的旋轉與反射中產生出像多邊形對稱這樣的非交換群。

具體地，設群 G 有正規子群 N 與子群 H，滿足 N ∩ H = {1} 且 NH = G——即 H 是 N 的補。則 G 是（內）半直積 N ⋊ H，且 G 的每個元素都唯一地分解為 n·h。乘法由 H 如何共軛 N 決定：(n_1 h_1)(n_2 h_2) = (n_1 · h_1 n_2 h_1^{-1})(h_1 h_2)。外部地，給定任一同態 φ : H -> Aut(N)，便在集合 N x H 上構造 N ⋊_φ H，其乘積為 (n_1, h_1)(n_2, h_2) = (n_1 · φ(h_1)(n_2), h_1 h_2)。

直積是作用 φ 平凡的特例。當 φ 非平凡時結果是真正被扭轉的，通常非交換。一個誠實的微妙之處是：半直積恰是分裂擴張——它只刻畫那些容許補 H 同構地映到商上的擴張 1 -> N -> G -> H -> 1。沒有補的擴張（非分裂者）不是半直積，需要群上同調來分類。