群擴張

群擴張是由兩塊更簡單的部件拼成的群：一個嵌在內部的正規子群，與對它取商後置於其上的商群。可把它想成一座兩層樓：一樓是正規子群 N，二樓是商 Q；樓 E 同時含有二者，但僅知兩層樓本身並不告訴你樓梯如何把它們連起來。這種連接資料——作用與扭動——正是擴張理論豐富之所在。

形式地說，群 Q 關於群 N 的擴張是一個短正合序列 1 -> N -> E -> Q -> 1，意即 N（同構於）E 的正規子群，而 Q（同構於）商 E/N。選取一個集合論意義的截面 s : Q -> E（商映射將其抵消），便可把 E 的乘法搬運成 N × Q 上的資料：Q 在 N 上的共軛作用（在內自同構意義下良定），以及當 N 阿貝爾時，度量 s 不是同態的程度的因子組。

當 N 阿貝爾時，誘導 Q 在 N 上固定作用的擴張在等價意義下由第二上同調群 H^2(Q, N) 分類；可裂擴張（具有同態截面者）構成零類，恰是半直積。對非阿貝爾的 N，分類更為微妙：一個作用未必能提升為真正的擴張，其阻礙位於 H^3(Q, Z(N)) 之中。於是擴張理論把關於群的結構問題翻譯成同調代數。