第二上同調
假設你想用一個正規子群 A 與一個商 Q 造出更大的群，並已知 Q 如何作用在 A 上。把它們黏合起來的方式可能有許多種互不同構，也可能一種都沒有，若黏合資料自相矛盾。第二上同調群正是這些可能性的精確帳本：每種黏合是一個 2 階上閉鏈，產生等價群的兩種黏合相差一個 2 階上邊緣，而零類即那個顯然的黏合——半直積。
對群 Q 與 Q 模 A，H^2(Q, A) = Z^2(Q, A) / B^2(Q, A)。一個 2 階上閉鏈是滿足恆等式 g·f(h, k) - f(gh, k) + f(g, hk) - f(g, h) = 0 的函數 f : Q^2 -> A（因子組），該恆等式恰是在 A × Q 上以扭乘法定義群運算所需的結合律約束。上邊緣對應於重新參數化所選取的擴張截面。其結果在等價意義下分類誘導給定作用的擴張 1 -> A -> E -> Q -> 1。
更一般地，H^2 是貫穿代數的阻礙群：它掌控部分結構何時能被補全（例如提升一個同態、形變一個代數，或實現一個布饒爾類）。在伽羅瓦上同調中，H^2(Gal(L/K), L^*) 嵌入布饒爾群，分類被 L 分裂的中心單代數。同一個 H^2 還判定一個射影表示能否提升為真正的線性表示，其阻礙是 H^2(Q, C^*) 中的一個類。
取 Q = Z/2Z 平凡地作用在 A = Z/2Z 上，可得 H^2(Z/2Z, Z/2Z) = Z/2Z。非零類由擴張 1 -> Z/2Z -> Z/4Z -> Z/2Z -> 1 實現，其不可裂性（Z/4Z 不是 Z/2Z × Z/2Z）正是那個非平凡上同調類。
Z/4Z 與克萊因四元群之別：相同的 Q 與 A，兩個擴張類。
H^2 的零類對應可裂擴張（半直積）；非零類意味著沒有任何截面是同態，故擴張是真正扭曲的。這正是為何 H^2(Q, A) = 0 迫使帶該作用的每個擴張都可裂。