舒爾乘子

群的舒爾乘子是單獨一個阿貝爾群，它把該群成為中心擴張的所有方式打包起來。舒爾引入它是為回答一個表示論難題：有限群有時只能被射影地表示，矩陣相乘差一個標量，而乘子恰好度量把這些射影表示拉直為普通表示的阻礙。它是依附於群隱藏的「扭動預算」的典範不變量。

具體地，群 G 的舒爾乘子是帶整數係數與平凡作用的第二同調群 M(G) = H_2(G, Z)。對有限群它是有限的，且由萬有係數定理同構於 H^2(G, C^*)，即分類 G 關於圓群的中心擴張、等價地分類射影表示之類的群。乘子是函子性的，且在乘積下表現良好：M(G × H) 包含 M(G) ⊕ M(H) ⊕ (G^ab ⊗ H^ab)。

對完全群 G（等於自身換位子群者），存在一個泛中心擴張 1 -> M(G) -> Ĝ -> G -> 1，其中 Ĝ 是唯一自身完全且覆蓋其餘一切的中心擴張；M(G) 是它的核，即代數意義下 G 的基本群。舒爾乘子貫穿有限群論——它是有限單群分類資料的一部分，其中每個單群都帶有掌控其覆蓋的已知乘子。