中心擴張

中心擴張是最簡單的有趣群擴張：其內部部件與一切都可交換。商完全不扭動子群——然而擴張仍可非平凡，因為即便沒有作用，兩部件黏合的方式也可能不構成直積。這類擴張是旋量群、海森堡群與射影表示等現象的棲身之所。

擴張 1 -> A -> E -> Q -> 1 稱為中心的，若 A 的像位於中間群的中心 Z(E) 內，這迫使 A 阿貝爾且 Q 在 A 上誘導的作用平凡。由於作用平凡，此類擴張由以平凡作用計算的 H^2(Q, A) 分類。零類是直積 A × Q；非零類給出一個儘管 A 是中心卻並非直積的群。

群 G 關於阿貝爾群的中心擴張由舒爾乘子 H_2(G, Z) 掌控：當 G 完全（G = [G, G]）時存在一個泛中心擴張，其核恰是舒爾乘子。在物理與李理論中，中心擴張解釋了為何對稱性只在差一相位的意義下作用於量子態——Q 的一個射影表示，正是 Q 關於圓群的某中心擴張的真正表示，其阻礙位於 H^2(Q, C^*)。