四元數

複數透過添加 -1 的一個平方根來擴張實數，它們刻畫平面的旋轉。四元數是更大膽的下一步：添加 -1 的三個平方根，記作 i、j、k，並要求它們反交換。代價是乘法不再可交換；回報是一個四維數系，完美契合三維空間中的旋轉。1843 年哈密頓著名地把定義關係刻在了布魯姆橋上。

形式上，H 是以 1、i、j、k 為基的四維實代數，滿足 i^2 = j^2 = k^2 = i*j*k = -1，由此強制 i*j = k = -j*i，j*k = i = -k*j，k*i = j = -i*k。每個非零四元數都可逆——H 是一個除環——其中心恰為實純量，所以 H 是 R 上的中心除代數。它在中心上的維數是 4 = 2^2，正如除代數理論要求維數為平方數。

範數為 1 的四元數構成單位四元數群，它二重覆蓋旋轉群 SO(3)：共軛 q -> q*v*q^(-1) 把純虛向量 v 旋轉，這正是圖形學與機器人學中平滑插值姿態背後的主力。作為代數，H 是 R 的布勞爾群中唯一的非平凡元素，因為 R 上有限維的除代數只有 R、C 和 H（弗羅貝尼烏斯定理）。

一個值得說明的告誡：這條路沒有更進一步且對交換友好的步驟。八元數把 H 擴張到八維，卻犧牲了結合性；胡爾維茨定理表明 R、C、H 和八元數是 R 上僅有的賦範除代數。因此四元數是這條路上最後一個結合的停靠點。