布勞爾群

域 K 上有許多中心單代數，但其中許多只相差無害的矩陣填充——M_2(D) 與 M_3(D) 由同一個底層除代數 D 構造，理應算作同一件東西。布勞爾群就是：當兩個中心單代數共享同一底層除代數時宣布它們等價，再把等價類裝配成一個群，其運算是張量積。它把 K 上所有非交換除代數打包進一個阿貝爾群。

確切地說，兩個中心單 K-代數 A 與 B 稱為布勞爾等價，若對某 r、s 有 M_r(A) 同構於 M_s(B)；等價地它們有同構的底層除代數。等價類的集合 Br(K) 是阿貝爾群：A 與 B 的類之積是 A 在 K 上張量 B 的類，單位元是 K 自身的類（所有分裂矩陣代數），而 A 的類之逆是反代數 A-op 的類，因為 A 張量 A-op 是矩陣代數。

每個布勞爾類有唯一的除代數代表，所以 Br(K) 實實在在地枚舉 K 上的中心除代數（在同構意義下）。一個類在群中的階稱為其週期，其除代數代表的次數稱為其指數；一條著名定理說週期總整除指數且有相同的質因子。

計算 Br(K) 是算術的核心。對代數閉的 K 群平凡；對 R 它是由四元數生成的 Z/2Z；對局部域它典範地是 Q/Z；阿爾伯特–布勞爾–哈塞–諾特定理給出整體域的正合列，是類域論的基石。在上同調上，Br(K) 等同於絕對伽羅瓦群作用在可分閉包乘法群上的伽羅瓦上同調群 H^2。