反環

在一面交換每個乘積次序的鏡子裡看一個非交換環。加法不變，但凡是原環先乘 a 再乘 b 的地方，鏡像裡就先乘 b 再乘 a。這個反射出的環就是反環。對交換環鏡子顯示不出新東西，但對真正非交換的環，反環可能是一個微妙不同的怪物——有時同構於原環，有時不然。

確切地說，對環 R，反環 R-op 有相同的底層加法群和新的乘法：R-op 中的 a * b 定義為 R 中的 b * a。它仍是一個帶同一單位元的環，且 (R-op)-op = R。環可交換當且僅當在給定乘法下 R = R-op 作為環成立。該構造是函子性的，並以受控方式逆轉同態的方向。

反環是連接左與右的橋樑。右 R-模恰是左 R-op-模，這正是為何很少需要為每一邊各立一套理論。對矩陣環，轉置給出同構 M_n(R)-op ≅ M_n(R-op)，而對域 k，代數 M_n(k) 經轉置同構於自己的反環。R 作為其自身上右模的自同態環是 R-op，是一處乾淨的概念性現身。

在布勞爾群中反環提供逆元：A-op 的類是 A 的類之逆，因為 A 張量 A-op 是中心上的全矩陣代數。一個除代數是否同構於其反環是個真問題——例如它探測該代數是否帶反自同構，那是諸如複共軛或四元數共軛這類對合的代數影子。