矩陣環

取任何你信賴的環——整數、某個域，甚至一個非交換環——把它的元素排成 n×n 的方陣。方陣按位相加，並用熟悉的行乘列規則相乘。結果是一個新環，而一旦 n 至少為 2，它就是非交換的，因為交換兩個矩陣通常會改變乘積。矩陣環是人人早已半懂的、最先也最重要的非交換例子。

形式上，對環 R 和整數 n ≥ 1，矩陣環 M_n(R) 由所有元素取自 R 的 n×n 矩陣構成，配以矩陣加法與乘法。其單位元是對角線為 1、其餘為 0 的矩陣。它的中心由純量矩陣 c*I 組成，其中 c 取自 R 的中心，所以域上的 M_n 的中心同構於該域。M_n(R) 的單位構成一般線性群 GL(n, R)。

矩陣環是典範的單與半單對象。若 D 是除環，則 M_n(D) 是單環——除 0 與整個環外沒有雙邊理想——而阿廷–韋德伯恩定理說，除環上的這些矩陣環恰是每個半單環的磚塊。矩陣單位 e_{ij}（僅在 (i, j) 位置為 1）給出具體基底，並編碼全部乘法。

需注意的一個細節：M_n(R) 的理想完全來自 R 的理想。具體地，對 R 的每個雙邊理想 I，M_n(I) 都是雙邊理想，且 M_n(R) 的每個雙邊理想都如此產生。所以 M_n(R) 為單當且僅當 R 為單，這正是為何除環（它們是單的）產生單矩陣環。