單環

理想是環得以被切成商的通道。單環則是除了兩個平凡通道——零理想與整個環——之外完全沒有這種通道的環。沒有非平凡的對象可供取商，所以在雙邊理想的世界裡單環是不可分的——是質數或單群的類比。

確切地說，單環是一個非零環 R，其僅有的雙邊理想是 0 與 R。等價地，從 R 出發的每個非零環同態都是單射，因為其核會是真雙邊理想。注意這只約束雙邊理想：單環仍可擁有大量左理想與右理想，矩陣環裡正是如此。

最乾淨的例子是除環 D 上的矩陣環 M_n(D)，它們為單恰因為 D 沒有非平凡理想。當加上有限性假設——R 為阿廷環，或在某域上有限維——阿廷–韋德伯恩定理證明這就是僅有的例子：每個單阿廷環都是某個 n 與某個除環 D 上的 M_n(D)。所以單性加有限性給出完整分類。

一個警示：沒有有限性，世界會狂野得多。外爾代數 A_1，在特徵 0 的域上由 x 與 d 生成並滿足 d*x - x*d = 1，是單的卻是無限維的，且不是除環上的矩陣環。因此單未必意味著半單——單環未必是其自身上單模之和。