外爾代數

想像作用在多項式上的求導運算與乘以 x 的運算。它們幾乎可交換，但不盡然：對 x*f 求導得到 f 加上 x 乘以導數，所以 d 與 x 遵守 d*x - x*d = 1 而非 d*x = x*d。外爾代數就是恰由這兩個運算與那一條扭轉關係生成的抽象環。它是多項式係數微分算子的代數，提煉到最精簡的骨架。

確切地說，域 k 上的第 n 個外爾代數 A_n 由 x_1, ..., x_n 與 d_1, ..., d_n 生成，滿足關係：x 之間互相交換，d 之間互相交換，且 d_i*x_j - x_j*d_i = delta_{ij}（克羅內克 delta）。它可具體實現為 k[x_1, ..., x_n] 上多項式係數微分算子環，通過乘法與偏導作用。

在特徵 0 的域上，外爾代數是一個單的諾特整環，它不是除環、也非有限維——一個乾淨的例子，表明單不蘊含半單或阿廷。它的中心僅為純量 k，沒有非平凡的有限維模，且整體維數為 n，使其成為同調代數與非交換代數中的主力例子。

一個關於特徵的警告：在特徵 p 下景象劇變。那裡 x^p 與 d^p 成為中心元，於是 A_n 不再為單，而表現得像一個大的可交換中心上的有限模——這是許多算術 D-模理論的源頭。外爾代數也是歐爾條件成立的典範例子，所以儘管它沒有有限維表示，仍嵌入一個分式除環。