歐爾條件

在交換整環裡你可以自由地構造分數：a/b 就是 a/b，並且你總能通過交叉相乘找到公分母。在非交換環裡，這個看似無害的操作崩潰了，因為 a/b 與 1/b 乘 a 不再顯然相同，你也不能盲目交叉相乘。歐爾條件正是你必須施加的精確相容性，以便能夠構造出一個合理的分式環——它保證任何左分式都能改寫成右分式。

確切地說，設 R 是環，S 是一個乘法封閉的候選分母集合。右歐爾條件說，對每個 a 屬於 R 與 s 屬於 S，右倍數集合 a*S 與 s*R 相交：存在 b 屬於 R 與 t 屬於 S 使得 a*t = s*b。當 R 是整環且 S 是全體非零元時，這恰是允許你構造右分式除環 R*S^(-1) 的條件，其中每個元素寫成 a*s^(-1)。

回報是一條局部化定理：若 S 滿足歐爾條件（外加一個在整環中自動成立的溫和可逆性假設），則局部化 R*S^(-1) 存在、在 R 上平坦，且每個元素都有 a*s^(-1) 的形式。歐爾整環——非零元滿足該條件的整環——恰是嵌入某個分式除環的非交換整環，即分式域的正確推廣。

一個誠實的告誡：並非每個非交換整環都是歐爾整環。兩個生成元上的自由代數 k⟨x, y⟩ 是一個不滿足歐爾條件的整環，而且它確實無法以樸素方式作為分式環嵌入任何除環。所以歐爾條件是一個真實的限制；諾特整環滿足它，這便是為何實踐中如此多的環——外爾代數、李代數的包絡代數——確實容許分式除環。