分式域

你從整數 Z 構造有理數 Q 的方式——允許自己除以任何非零數——對任何整環都適用。分式域恰好就是這個構造：它是給定整環能嵌入其中的最小的域，透過引入元素的形式商 a/b 而成。

給定整環 R，考慮滿足 a、b 屬於 R 且 b ≠ 0 的有序對 (a, b)，並規定當 a·d = b·c 時 (a, b) ~ (c, d)——這正是說 1/2 = 2/4 的那條交叉相乘法則。這些等價類記作 a/b，在通常的加法 a/b + c/d = (a·d + b·c)/(b·d) 與乘法下構成一個域 Frac(R)。映射 a ↦ a/1 把 R 嵌入 Frac(R)，而 Frac(R) 恰好由 R 中元素之比組成。

這一構造有一個乾淨的泛性質：從 R 到任一域 K 的任何單射環同態都唯一地經由 Frac(R) 分解。它是局部化的特例——把每個非零元素都求逆。整性是本質的：這套辦法需要沒有零因子，否則一個分母可能把某個非零元素乘成零，使等價關係崩潰。對一般的交換環，則改為求逆某個乘性集合，得到的是局部化而非域。