局部化

局部化是合法地引入分母的泛方式。你有一個環，選定你希望可逆的某些元素，局部化便構造出包含你的環的最小環，在其中恰好這些元素變成了單位。它推廣了從整數 Z 到有理數 Q 的飛躍——那裡你把一切都求逆；一般情形下你只把選定的乘性族求逆，得到一個為你想要除以的對象量身定制的環。

設 R 是交換環，S 是乘性子集：1 在 S 中且 S 對乘法封閉。局部化 S^{-1}R 是分式 a/s（a 在 R 中，s 在 S 中）的集合，等價關係為 a/s = b/t 當且僅當存在 u 在 S 中使 u(at - bs) = 0，配以顯然的加法與乘法。存在典範環同態 R -> S^{-1}R，a -> a/1，且它是泛的：任何把 S 映為單位的從 R 出發的環同態都唯一地經由 S^{-1}R 分解。

兩個特例佔主導。取 S = R \ p（p 為素理想）給出在素理想處的局部化，是局部環。取 S = {1, f, f^2, ...}（單個元素 f）給出 R_f = R[1/f]，即 f 不為零的開集上的函數。局部化是模上的正合函子，與商及理想的有限交可交換，並且是平坦的——使它成為本學科中最溫和、最有用的運算之一。告誡：局部化可能使對象坍縮——若 0 落在 S 中，整個環就變成零環。