零因子

在普通算術中，如果兩個數之積為零，那麼其中之一必為零。零因子正是打破這條規則的元素：非零卻使乘積仍為零的東西。它們的存在恰恰把一般的環與表現良好的整環世界區分開來。

在環 R 中，非零元素 a 稱為零因子，如果存在非零元素 b 使 a·b = 0（左零因子）或 b·a = 0（右零因子）。整環按定義就是沒有零因子的交換環。零因子的存在意味著消去律失效：a·b = a·c 不再能推出 b = c。

零因子與交換環的結構緊密相連：一個元素是零因子或為零，若且唯若它落在某個相伴素理想中，而全體零因子構成一些素理想之並。除 0 與 1 外的冪等元，以及非零冪零元，都必然是零因子。在有限交換環中，每個元素要麼是單位，要麼是零因子，沒有第三種可能。