冪等元

冪等元是與自身相乘後保持不變的元素——平方它什麼也不改變。想像一個投影：一旦施加，對已經落在其像中的東西就不再有任何作用，做兩次和做一次效果相同。冪等元是環如何分裂成相互獨立部分的代數指紋。

嚴格地說，環 R 中的元素 e 稱為冪等的，如果 e^2 = e。元素 0 與 1 總是冪等的，稱為平凡冪等元；與它們不同的冪等元稱為非平凡的。兩個冪等元 e 與 f 稱為正交的，如果 e·f = f·e = 0；冪等元稱為中心的，如果它與 R 中每個元素可交換。

其結構意義在於分解。一個非平凡的中心冪等元 e 誘導一個直積分解 R ≅ eR × (1 − e)R，把環分裂成兩個更小的環。沒有非平凡冪等元的環稱為連通的（在幾何圖景中其譜是連通的）。冪等元還分類模的直和項——模分解 M = A ⊕ B 對應於一個投影到 A 的冪等自同態——這正是它們在投影模理論與格羅滕迪克群 K_0 中居於核心的原因。