冪等完備化
冪等元是一種自投影：滿足 e^2 = e 的自同態，像一個挑出某一部分並使之保持不動的映射。理想地說，這樣的投影應當分裂——它的像應是範疇中真實存在的對象，是一個直和項。但在許多範疇中，這個像卻付之闕如，像沒有實體的影子。冪等完備化正是補上這些缺失實體的操作：你為每個冪等元的像形式地添入一個對象，使一切投影都分裂。
給定加性範疇 A，其冪等完備化（或卡魯比包絡）A-帽的對象是數對 (X, e)，其中 X 屬於 A 而 e: X -> X 是冪等元，e^2 = e。從 (X, e) 到 (Y, f) 的態射是 A 中滿足 f g e = g 的映射 g: X -> Y。原對象 X 成為 (X, id_X)，給出全忠實嵌入 A -> A-帽，而在 A-帽中每個冪等元都分裂：(X, e) 是 (X, id_X) 的一個直和項，與 (X, 1 - e) 互補。當此嵌入本身已是等價時，稱該範疇冪等完備，或卡魯比的。
冪等完備化對 K 理論之所以要緊，是因為 K_0 對它敏感而高階 K 群不然：包含 A -> A-帽 誘導單射 K_0(A) -> K_0(A-帽)，它未必是滿射；而對 n 至少為 1，它誘導 K_n 上的同構（屬於共尾性一圈思想中的一條定理）。從實踐看，這正是人們採用有限生成投射模的緣由——它們恰是自由模的冪等完備化，因為投射模按定義就是某個冪等矩陣的像。
設 A 為有限生成自由 R 模的範疇。它的冪等完備化是有限生成投射 R 模的範疇：投射模 P 是某矩陣環 M_n(R) 中冪等元 e = e^2 的像，即對象 (R^n, e)。因此，除非每個投射模都穩定自由，自由模的 K_0 未必等於 K_0(R)。
投射模是自由模的冪等完備化。
冪等完備化本身是一種類似左伴隨的普適構造：A-帽是 A 上自由的冪等完備加性範疇，故任何從 A 到某冪等完備範疇的加性函子都唯一地（至多差自然同構）經由 A -> A-帽 延拓。完備兩次不會帶來新東西——A-帽本身已是冪等完備的。