範疇

可以把範疇想像成一個數學世界，連同允許在其居民之間移動的映射。居民就是「物件」（集合、群、空間、模），箭頭則是「態射」（函數、同態、連續映射）。範疇論做了一個有意為之的賭注：關於一個物件，真正要緊的並非其內部構造，而是它如何透過箭頭與其餘一切發生關係。只談物件與箭頭這一約束，竟能一次性刻畫遍佈整個數學的各種構造。

形式地說，一個範疇 C 由一族物件組成，並且對每一對有序物件 (A, B) 配有一族態射 Hom(A, B)。還有一個複合運算：給定 f 屬於 Hom(A, B) 與 g 屬於 Hom(B, C)，便得到 g ∘ f 屬於 Hom(A, C)。須滿足兩條公理：複合滿足結合律，只要有定義就有 h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f；且每個物件 A 都有一個恆等態射 id_A 屬於 Hom(A, A)，作為雙側單位元，f ∘ id_A = f 且 id_B ∘ f = f。

一個值得點明的微妙之處：物件的「族」可能大到不再是一個集合（所有集合的物件不構成一個集合）。若一個範疇的物件與態射各自構成集合，就稱為小範疇；若每個 Hom(A, B) 都是集合（即便物件總體不是），就稱為局部小範疇。多數常用範疇——Set、Grp、Ring、Top、Vect——都是局部小但非小，這正是為何在如米田引理這類謹慎陳述中會出現大小之分。