阿貝爾範疇

阿貝爾範疇是這樣一種範疇：它的行為足夠像某環上的模範疇，以至於整套同調代數——核、上核、像、正合序列、圖追蹤——都能在其內部講得通。其動機是恰好公理化做同調所需的特徵，而不拘泥於真實的模，使同一套機器適用於層、鏈複形與表示。它是導出函子、Ext 與 Tor 的天然舞台。

阿貝爾範疇可分步定義為：一個帶零物件、並具有彼此一致的全部有限積與餘積的範疇（故它是加性的，每個 Hom 集都是阿貝爾群且複合雙線性）；其中每個態射都有核與上核；並且關鍵地，其中每個單態射都是某態射的核，每個滿態射都是某態射的上核。最後這條正規性公理迫出第一同構定理：每個態射都分解為映滿到其像的滿態射繼以一個單態射，且像等於上像。

其結構意義由弗賴德–米切爾嵌入定理捕捉：每個小阿貝爾範疇都充分忠實且正合地嵌入某環 R 上的模範疇 R-Mod。所以阿貝爾範疇恰是「嵌入意義下的模範疇」，這為如下做法提供了依據：先在模中以元素追蹤證明圖引理（蛇引理、五引理），再在任何阿貝爾範疇中援引它們。標準例子包括 Ab、R-Mod、阿貝爾群層與有界鏈複形。