蛇形引理

蛇形引理是長正合序列得以湧現的小小奇蹟。你從一個交換圖出發，圖中兩條短正合序列上下疊放，由三個豎直映射相連。引理斷言：這三個豎直映射的核與餘核拼成一條正合序列——更關鍵的是，一個嶄新的映射出現了，它如蛇般沿對角線從最右端的核蜿蜒下行至最左端的餘核，連接起原本毫無直接聯繫的兩行。

確切地說：給定一個交換圖，其各行正合，上行為 A -> B -> C -> 0，下行為 0 -> A' -> B' -> C'，豎直映射為 f : A -> A'、g : B -> B'、h : C -> C'，則存在正合序列 ker f -> ker g -> ker h -> coker f -> coker g -> coker h。映射 ker h -> coker f 即連接同態。若另有 A -> B 為單射，則序列左端可延伸為 0 -> ker f；若 B' -> C' 為滿射，則右端可延伸為 coker h -> 0。

連接映射由一次圖追蹤構造而成：把 ker h 中的元素提升到 B，向下推到 B'，發現它落在 A' 的像中，再模去 im f 拉回到 A'。其名得自該元素在圖中描出的 S 形路徑。逐次施加於複形的短正合序列時，蛇形引理恰好產生同調長正合序列的連接映射。