連接同態

連接同態是一個本不該存在卻偏偏存在的映射。當你把一個複形拆成子部分與商部分時，它們的同調由顯然的誘導映射相連，但僅憑這些會留下缺口。連接同態正是那個出人意料的額外箭頭，它彌合這些缺口，跨越一個次數把商的同調重新繫回子部分的同調，從而把整條鏈閉合成一條長正合序列。

它由蛇形引理施加於鏈複形的短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0 而來。連接映射 ∂ : H_n(C) -> H_{n-1}(A) 由圖追蹤定義：取 C_n 中的閉鏈 c，將它提升為 B_n 中某個 b（由滿射性可行），對 b 施加微分得到 B_{n-1} 中的 d(b)，注意 d(b) 在 C 中映為零，故它來自 A_{n-1} 中唯一的 a，令 ∂[c] = [a]。可驗證 a 是閉鏈，且該類不依賴於選取。

其定義性質是：所得序列 ... -> H_n(A) -> H_n(B) -> H_n(C) -> H_{n-1}(A) -> ... 在每一項處都正合——這正是長正合序列存在的全部緣由。連接映射對短正合序列是自然的，正因如此五引理才能比較不同的長正合序列。在上同調中它提升次數，∂ : H^n(C) -> H^{n+1}(A)，並支撐著每個導出函子的連接映射。