長正合序列

長正合序列是一座橋樑，讓你能從較簡單部分的同調計算出複雜對象的同調。設想你把一個複形撕成一個子部分和一個商部分。它們的同調並不能簡單相加，但它們被一個反覆出現的連接映射環環相扣——在每個次數上一遍又一遍——從而產生一條把三組同調群全部聯繫起來的無限正合序列。

確切表述：鏈複形的短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0 誘導出同調上的長正合序列 ... -> H_n(A) -> H_n(B) -> H_n(C) -> H_{n-1}(A) -> H_{n-1}(B) -> ...，向兩端延伸。映射 H_n(A) -> H_n(B) 與 H_n(B) -> H_n(C) 來自鏈映射；映射 H_n(C) -> H_{n-1}(A) 是連接同態，它把次數降低 1。序列在每一項處都正合。

這條序列的存在性正是蛇形引理橫貫整個複形所得的內容，也可以說是本學科中使用最頻繁的單一計算工具。在上同調中序列方向相反，在連接映射處提升次數。每當一個不變量透過複形定義——同調、上同調、Ext 與 Tor 這類導出函子——輸入的短正合序列就給出輸出的長正合序列，把未知群化為已知群。