同調

同調回答了關於鏈複形的一個聽起來簡單的問題：哪些閉鏈不是邊緣？閉鏈是「閉合起來」的東西（下一個映射把它送為零）；邊緣則是已經從上一階段產生出來的東西。若每個閉鏈都是邊緣，複形便正合而無趣。同調把剩下的閉鏈——真正的「洞」——收集成一串模，並在合理的變形下保持不變。

給定鏈複形 (C, d)，第 n 個同調模為商 H_n(C) = ker(d_n) / im(d_{n+1})。它之所以良定，恰因 d^2 = 0 保證 im(d_{n+1}) 是 ker(d_n) 的子模。H_n 中的元素稱為同調類，對閉鏈 z 記作 [z]；兩個閉鏈若相差一個邊緣則稱為同調的。複形在 C_n 處正合，當且僅當 H_n(C) = 0。

同調是函子性的：鏈映射 f : C -> D 誘導同態 H_n(f) : H_n(C) -> H_n(D)，且鏈同倫的映射在同調上誘導相同的映射。正是這種不變性使同調可計算——人們用一個同倫等價的更簡單複形替換複雜複形而不改變答案。在拓撲中 H_n 探測 n 維的洞；在代數中同一套機器度量任何所寫複形正合性的失敗程度。