鏈複形

想像一排房間，房間之間由單向門相連，每扇門通向下一個房間，最後通向一個標著「空」的房間。這座建築的規則是：如果你連續穿過兩扇門，最終一定會走進那個空房間。鏈複形恰好把這條規則搬到了模上：一串箭頭，連續作用兩個箭頭總得到零。正是這一個條件，使整套同調理論得以建立。

形式地說，環 R 上的鏈複形是一串 R 模與同態 ... -> C_{n+1} -> C_n -> C_{n-1} -> ...，其中映射 d_n : C_n -> C_{n-1}（稱為邊界映射或微分）對每個 n 滿足 d_n ∘ d_{n+1} = 0。條件 d^2 = 0 等價於說 d_{n+1} 的像包含於 d_n 的核。ker(d_n) 中的元素稱為 n 階閉鏈（cycle），im(d_{n+1}) 中的元素稱為 n 階邊緣（boundary）；每個邊緣都是閉鏈。

複形在 C_n 處恰好正合，當且僅當 im(d_{n+1}) 等於 ker(d_n)，即除了顯而易見的之外再無別的閉鏈。同調正是度量這一點失敗的程度。這裡的指標是同調式的（沿箭頭方向次數遞減）；同一套資料若讓次數遞增，則稱為上鏈複形。任意環上的向量空間、阿貝爾群或模的鏈複形，是構建導出函子、分解和譜序列的基本對象。