上鏈複形

上鏈複形與鏈複形是同一個想法，只是箭頭反向：沿每個映射次數不再下降 1，而是上升 1。可以把它想成爬樓梯而非下樓梯。這種記號上的選擇很重要，因為上同調——由上鏈複形構建的同調版本——正是乘積及其他附加結構自然棲身之處。

具體地說，環 R 上的上鏈複形是一串 ... -> C^{n-1} -> C^n -> C^{n+1} -> ...，其中映射 d^n : C^n -> C^{n+1}（稱為上邊界映射）滿足 d^{n+1} ∘ d^n = 0。ker(d^n) 中的元素稱為 n 階上閉鏈（cocycle），im(d^{n-1}) 中的元素稱為 n 階上邊緣（coboundary）。條件 d^2 = 0 同樣迫使每個上邊緣都是上閉鏈，而在 C^n 處正合意味著 im(d^{n-1}) = ker(d^n)。

寫成鏈複形還是上鏈複形，純粹是指標約定問題：把 C^n 重新標記為 C_{-n} 就能互相轉化。在實踐中區分二者仍有意義，因為自然出現的複形方向不同——空間的奇異鏈構成鏈複形，而施加 Hom 或取微分形式則產生上鏈複形。這種複形的上同調，便是當下拓撲或代數理論中的上同調。