群上同調
設群 G 作用在一個阿貝爾群 A 上，而你只關心被 G 完全固定不動的那些元素——不動點。取不動點是個乾淨的操作，卻會丟資訊：兩種不同的情形可以有相同的不動點，卻在 G 如何扭動其餘一切上有所不同。群上同調就是對這些丟失資訊的系統記錄。第零層不過就是不動點；更高的層以越來越微妙的方式，度量那些單憑不動點看不見的阻礙與扭動。
確切地說，設 G 是群，A 是一個 G 模——一個 G 以自同構方式作用其上的阿貝爾群，等價地即群環 Z[G] 上的模。不動點函子 A |-> A^G = { a 屬於 A : 對所有 g 有 g·a = a } 是左正合而非正合的，故有右導出函子。它在 A 處的第 n 個右導出函子即第 n 個上同調群 H^n(G, A)，其中 H^0(G, A) = A^G。具體地，H^n(G, A) 是由 Z[G] 上 Z 的一個自由分解（最常用的是條形分解）所得的、由函數 G^n -> A 構成的上鏈複形的上同調。
低次群有著名的含義：H^1(G, A) 在差一個主元的意義下分類交叉同態（對非阿貝爾的 A，則分類撓子或扭形式），而 H^2(G, A) 則在給定作用下分類 G 關於 A 的擴張。更高的 H^n 編碼提升與黏合問題的阻礙。等價且內稟地，H^n(G, A) 等於 Z[G] 上平凡模 Z 與 A 的 Ext^n，這正是為何所有標準的同調機器——長正合序列、維數移位、導出函子——都原封不動地適用。
設 G = Z/nZ 平凡地作用在 A = Z/nZ 上。則 H^0 = Z/nZ，H^1 = Hom(Z/nZ, Z/nZ) = Z/nZ，事實上對每個 k >= 0 有 H^k(Z/nZ, Z/nZ) = Z/nZ——上同調是週期的，這是循環群的標誌。
循環群有週期上同調。
當 G 平凡地作用在 A 上時，公式化簡：H^1(G, A) = Hom(G, A)，即通常的群同態。之所以需要一般理論，正是因為多數有趣的作用都是非平凡的，例如算術中 G 是伽羅瓦群的情形。