第一上同調
第一上同調群回答：給定一個群作用在某物上，能以多少種本質不同的方式去扭動一個不動點，使它不再被固定、卻仍與作用相容？當作用平凡時這些扭動不過是同態；當作用非平凡時它們是更微妙的扭同態。H^1 把它們全部組織起來，並在丟棄那些由環境模免費產生的扭動之後。
對群 G 與 G 模 A，第一上同調群為 H^1(G, A) = Z^1(G, A) / B^1(G, A)。這裡 Z^1 由交叉同態（1 階上閉鏈）構成：滿足 f(gh) = f(g) + g·f(h) 的函數 f : G -> A。子群 B^1 由主交叉同態構成：形如 f(g) = g·a - a 的那些，其中 a 屬於 A。故 H^1(G, A) 即交叉同態模主交叉同態。若 G 平凡地作用在 A 上，則化簡為 H^1(G, A) = Hom(G, A)。
在幾何與算術上，H^1 分類對象：對非阿貝爾的 A，可定義一個帶基點的集合 H^1(G, A)，分類 A 下的主齊性空間（撓子），這是下降理論與扭形式分類背後的引擎。一個核心工具是長正合序列：G 模的短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0 給出 ... -> B^G -> C^G -> H^1(G, A) -> H^1(G, B) -> ...，把不動點不能滿射這一失敗轉化為一個具體的 H^1 類。
對 G = Z/2Z = {1, σ} 通過 σ·a = -a 作用在 A = Z 上，一個交叉同態由 f(σ) = m 決定，約束 f(σ^2) = f(1) = 0 迫使 m + σ·m = m - m = 0 自動成立；上邊緣為 f(σ) = σ·a - a = -2a。故 H^1(Z/2Z, Z) = Z / 2Z = Z/2Z。
一個直接由上閉鏈模上邊緣算出的小 H^1。
希爾伯特定理 90 即：對有限擴張 L/K 的伽羅瓦群 G 作用在乘法群 L^* 上，有 H^1(G, L^*) = 0。這一第一上同調群的消沒，是整個代數中最具影響的計算之一。