上邊緣

上邊緣是一種因無聊的理由而平凡的上閉鏈：它由低一階的資料自動製造出來，本身沒有真正的內容。如果說上閉鏈記錄一項測量，那麼上邊緣記錄的測量完全是你設置座標方式的產物——改一改記帳方法它就消失了。上同調恰恰就是把所有這類產物丟棄、只保留任何座標變換都抹不去的上閉鏈的操作。

形式地說，對上鏈 G^n -> A 上的上邊界算子 d，一個 n 階上邊緣是形如 d(c) 的上鏈，其中 c 是 n-1 階上鏈。n 階上邊緣之集為 B^n(G, A) = im(d : C^{n-1} -> C^n)。由於 d^2 = 0，每個上邊緣都是上閉鏈，故 B^n 是 Z^n 的子群，第 n 個上同調群即商 H^n(G, A) = Z^n / B^n。一個上閉鏈是上邊緣，當且僅當它在 H^n 中的類為零。

在 1 次，主交叉同態即上邊緣：f(g) = g·a - a，其中 a 是 A 中某固定元。在 2 次，上邊緣恰是來自可裂擴張（即等價於半直積的擴張）的因子組。因此，當兩個上閉鏈相差一個上邊緣時便判它們等價，並非任意約定——它恰好把描述同一底層對象、僅差一次無害重新參數化的上閉鏈等同起來。