上閉鏈

上閉鏈是一個服從嚴格到足以擁有名字的相容規則的函數。設想你為每一步賦予一個修正量，使得無論沿哪條步驟路徑前進，累積的修正都彼此吻合。強制這種路徑無關性的閉合條件，正是上閉鏈方程。上閉鏈是上同調類的候選者：它滿足規則，但它究竟是真正新的還是暗中平凡的，則是另一個由上邊緣回答的問題。

在群上同調中，一個（正規化的、非齊次的）n 階上鏈是取值於 G 模 A 的函數 f : G^n -> A。上邊界算子 d 通過一個把 G 的作用與 f 各位置混合起來的交錯求和公式，將 n 階上鏈送為 n+1 階上鏈。n 階上閉鏈是滿足 df = 0 的上鏈 f；n 階上閉鏈之集記作 Z^n(G, A)，構成全體上鏈的子群。由於 d^2 = 0，每個上邊緣都是上閉鏈，但反之不然。

上同調群是商 H^n(G, A) = Z^n(G, A) / B^n(G, A)，故一個上閉鏈確定一個上同調類，且兩個上閉鏈給出同一類當且僅當它們相差一個上邊緣。對 n = 1，上閉鏈條件讀作 f(gh) = f(g) + g·f(h)，即交叉同態律；對 n = 2，它是群擴張的因子組所滿足的結合律型恆等式。在拓撲與層論中「上閉鏈」一詞用法完全相同——同樣的閉合規則，不同的上鏈。