交叉同態

交叉同態是當目標正被某個群作用搖動時，普通同態所變成的樣子。誠實的同態滿足 f(gh) = f(g) + f(h)；但若 g 還會挪動目標中的元素，這樸素的法則就必須靠插入那個挪動來修正。修正後的法則 f(gh) = f(g) + g·f(h) 即交叉同態律，它恰是 f 成為 1 階上閉鏈的條件。

設 G 是群，A 是 G 模。一個交叉同態（或 1 階上閉鏈）是對所有 g, h 屬於 G 滿足 f(gh) = f(g) + g·f(h) 的函數 f : G -> A。所有這種函數構成 1 階上閉鏈群 Z^1(G, A)。若交叉同態形如 f(g) = g·a - a（a 是 A 中某固定元），則稱為主的（1 階上邊緣）；它們構成子群 B^1(G, A)，而商 Z^1/B^1 即第一上同調 H^1(G, A)。

有一幅清晰的結構圖景：交叉同態 G -> A 與半直積 A ⋊ G -> G 的群論截面一一對應，即與 A 的補子群一一對應；主交叉同態對應於共軛的補。當 G 平凡作用時，交叉律退化為普通律，交叉同態就是普通同態 G -> A，從而還原 H^1(G, A) = Hom(G, A)。在伽羅瓦理論中，取值於 L^* 的交叉同態是希爾伯特定理 90 的主角。