因子組

因子組是群擴張內部如何相乘的精確說明書。當你用正規子群 A 與商 Q 造群 E 時，要為 Q 的每個元素在 E 中各挑一個代表元；但兩個代表元之積未必是積的代表元——它會多出 A 中的一個元素。因子組記錄所有這些差額，而要求 E 中乘法結合，便化為因子組上的一個乾淨方程。

給定擴張 1 -> A -> E -> Q -> 1，A 阿貝爾，並選定集合截面 s : Q -> E，因子組是由 s(g)s(h) = f(g, h) · s(gh) 定義的函數 f : Q × Q -> A。E 的結合律迫使 2 階上閉鏈恆等式 g·f(h, k) - f(gh, k) + f(g, hk) - f(g, h) = 0 成立。換一個截面會使 f 改變一個 2 階上邊緣，故 [f] 在 H^2(Q, A) 中的類是擴張的不變量。反之，每個 2 階上閉鏈在 A × Q 上定義一個實現該類的群運算。

因子組給出 H^2 最具操作性的描述：H^2(Q, A) 的一個元素就是一個差上邊緣的因子組。同一套資料出現在中心單代數理論中的交叉積代數裡，那裡伽羅瓦群上的一個因子組拼裝出除環結構，而其上同調類即該代數在布饒爾群中的類。正規化 f(1, g) = f(g, 1) = 0 對應於取 s(1) = 1，總是可行的。