條形分解
條形分解是把群上同調的抽象定義轉化為可供計算的顯式函數的萬有配方。導出函子可用任意自由分解來定義，但要真正寫下上閉鏈，你需要一個具體的；條形分解對每個群給出同一套分解，它從群自身的元素同義反覆地構造出來。其名源於一種用豎線分隔元素的舊記號。
對群 G，條形分解是平凡模 Z 的自由 Z[G] 分解，其第 n 項 B_n 是以符號 [g_1 | g_2 | ... | g_n] 為基的自由 Z[G] 模（B_0 = Z[G]，以空符號為基）。邊界映射 d : B_n -> B_{n-1} 是交錯和 d[g_1 | ... | g_n] = g_1·[g_2 | ... | g_n] + Σ_{i=1}^{n-1} (-1)^i [g_1 | ... | g_i g_{i+1} | ... | g_n] + (-1)^n [g_1 | ... | g_{n-1}]。對此分解施加 Hom_{Z[G]}(-, A)，恰好得到由函數 G^n -> A 構成的非齊次上鏈複形。
因此條形分解正是為何上閉鏈與上邊緣的操作性公式——1 次的交叉同態律、2 次的因子組恆等式——長成那個樣子：它們不過是條形邊界映射的對偶。正規化條形分解殺死任何含恆等元項的符號，給出一個更小的、鏈同倫等價的正規化上鏈複形，是實踐中保持計算有限所用的。
在低次對條形分解取對偶：Hom(B_1, A) 是函數 G -> A，Hom(B_2, A) 是函數 G × G -> A；上邊界 d^1 f(g, h) = g·f(h) - f(gh) + f(g) 恰是條形映射 d : B_2 -> B_1 的對偶。其核即交叉同態。
對條形映射取對偶便還原出顯式的上鏈微分。
條形分解極其龐大——每個 B_n 以 |G|^n 個生成元為基——故它能證定理，卻無法用於大群的直接計算。對具體的群，人們用一個小而高效的分解（如循環群的週期分解）來替換它，以計算同一上同調。