投射分解

投射分解用一個完全由良好構件搭成的逼近物來替換一個模。投射模是這樣一類模：映射可以沿它提升，正合序列可以從它處分裂——它們是自由、可塑材料的代數類比。其思想是把任意模表示為一條由投射模構成的長正合鏈的末端，用一個我們完全理解其各項的複形，換下一個可能複雜的對象。

形式地說，R 模 M 的投射分解是一條正合序列 ... -> P_2 -> P_1 -> P_0 -> M -> 0，其中每個 P_i 都是投射模。這樣的分解總是存在，因為每個模都是某個自由模（從而投射模）的商；人們逐步構造它：先用 P_0 覆蓋 M，再用 P_1 覆蓋其核，如此進行。捨去 M，截斷複形 ... -> P_1 -> P_0 -> 0 在次數 0 處同調為 M，別處為零，故它是 M 的替身。

投射分解並不唯一，但任意兩個都是鏈同倫等價的，因而任何函子施加其上再取同調都給出良定的答案。左導出函子——Tor 即其一——正是這樣計算的：先分解，施加函子，再取同調。所需非零項的最小個數度量 M 的投射維數，這是一個基本不變量。